Derivada

La derivada se trata de un concepto cuyo significado dialéctico se relaciona directamente a la matemática. Este término, cuando se trata de una variable o función real, hace referencia al resultado de un límite, representando a su vez, de forma geométrica, la pendiente que corresponde a la recta tangente perteneciente a la gráfica de una función en un punto.

En el campo físico podemos determinar la derivada como la velocidad producida de forma instantánea, considerándose de esta forma como la razón variable de la masa con respecto a la variación tiempo.

La derivada es considerada como una secante que atraviesa un punto fijo y pasa por otro punto de una misma curva. En este sentido, debemos considerar la cantidad de secantes que pueden pasar por un punto fijo mientras que el otro punto de la secante se aproxima.

En este caso, el límite de la recta de la secante existe, transformándose así en una recta tangente y generándose de esta forma un salto cualitativo ya que pasa de recta secante a tangente.

Ejemplos de derivada

  1. Y = 12x4 + 7x3 + 9x2

Se aplica la siguiente ecuación:

 

 

Dando como resultado: Y1 = 48x3 + 21 x2 + 18x

  1. F (x) = 7x + 3 da como resultado: f1 (x) = 7
  2. F (x) = 5x2 + 4 da como resultado: f1 (x) = 10x
  3. Y= 6 da como resultado: y1 = 0
  4. Y = (1 + 4x3) (1 + 2x2) da como resultado: y1 = 4x (10 x3 + 3x + 1)
  5. Y = 12 x4 + 7 x3 + 9 x2 + 1000 da como resultado: y1 = 48 x3 + 21 x2 + 18 x
  6. Y = (6 x5 + 4 x3 + 2x + 1) 7 da como resultado: y = 14 (15 x4 + 6x2 + 1). (6 x5 + 4x3 + 2x +1 )6
  7. Y = sen (5x) da como resultado: y1= 5.cos (5x)
  8. Y = e2x2 da como resultado: y1= 4xe 2×2
  9. Y = In (2 x4) da como resultado: y1 4/x

Podemos ejemplificar la derivada estudiando el movimiento: si determinada función hace la representación de un objeto en relación al tiempo, la velocidad de ese objeto viene a ser la derivada.

En este sentido, el valor de la derivada respecto de una función en determinado punto se le puede dar una interpretación geométrica, esto debido a que la gráfica de la función, corresponde a la recta tangente de la pendiente.

Es por ello que se dice que la recta tangente se conoce como la gráfica de mejor y mayor aproximación lineal de la función con respecto al punto. Cabe destacar que, la noción de la derivada es posible generalizarla en caso de que se encuentren funciones con más de una variable con el diferencial y la derivada parcial.

Definiciones de la derivada de acuerdo al campo de aplicación

Esta definición cuenta con diversas aplicaciones, tales como el caso donde es necesario medir la velocidad donde se genera el cambio de una situación determinada. Se aplica de igual forma en áreas como la biología, física, química, sociología o economía, como herramienta de cálculo.